Archivo Explosivo: Zahlensysteme

FIAE – Umrechnung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen

Beispiel: Die Umrechnung von 77.255 (Dezimales Stellenwertsystem) in ein Hexadezimales Stellenwertsystem.

Ganzzahlige Division mit Restwert:

  • Zahl durch 16 dividieren
  • Rest der Division notieren
  • Falls das Ergebnis nicht 0 ist, Schritt 1 und 2 wiederholen
  • Am Ende müssen alle Reste (>9) durch hexadezimalen Zahlen ersetzen (A, B, C, D, E, F)

77255/16= 4828 Rest: 7dez > 7hex
4828/16= 301 Rest: 12dez > Chex
301/16= 18 Rest: 13dez > Dhex
18/16= 1 Rest: 2dez > 2hex
1/16= 0 Rest: 1dez > 1hex
Endergebnis: 77.255dez = 12DC7hhex

„Taschenrechner-Variante“ (Division/Restwert-Multiplikation):

  • Zahl durch 16 dividieren
  • Nachkommastellen mit 16 multiplizieren
  • Falls das Ergebnis nicht 0 ist, Schritt 1 und 2 wiederholen
  • Ergebnisse der Nachkommastellen-Multiplikation (>9) durch hexadezimalen Zahlen ersetzen (A, B, C, D, E, F)

77255/16=4828.4375dez
0,4375*16=7=7hex
4828/16=301,75dez
0,75*16=12=Chex
301/16=18,8125dez
0,8125*16=13=Dhex
18/16=1,125dez
0,125*16=2hex
1/16=0,0625dez
0,0625*16=1hex
Endergebnis: 77.255dez = 12DC7hhex

FIAE – Umrechnung von Dual/Binär in Hexadezimal

Übungen für die Umrechnung von Dual/Binär-Zahlen in das Hexadezimal-System:

a.) 0000 1010 (2^1+2^3) = 10 = A
0 * 1 = 0
1 * 2 = 2
0 * 4 = 0
1 * 8 = 8
————
10
10 = A in Hexadezimal

b. 0111 1000
0111=(16+32+64+0)=112
1000=(0+0+0+8)=8
0*1=0
0*2=0
0*4=0
1*8=8
1*16=16
1*32=32
1*64=64
0*128=0
———————
(64+32+16+8)=120
120 : 16 = 7 Rest: 8 = Ziffer: 8
7 : 16 = 0 Rest: 7 = Ziffer: 7
Resultat: 78hex

c.) 0001 0111
1*1=1
1*2=2
1*4=4
0*8=0

1*16=16
0*32=0
0*64=0
0*128=0 = 16
————–
(1+2+4+16)=23 = 17 hex
23 : 16 = 1 Rest:7 = 7hex
1 : 16 = 0 Rest:1 = 1hex
Resultat: 17hex

d.) 1101 1000
0*1=0
0*2=0
0*4=0
1*8=8
1*16=16
0*32=0
1*64=64
1*128=128
————–
(128+64+16+8)=216
216 : 16 = 13 Rest: 8 = 8hex
13 : 16 = 0 Rest: 13 = Dhex
Resultat: D8hex

FIAE – Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem, Hexadekadisch) / Zahlensysteme

Die Basis im Hexadezimalsystem ist 16. Die Symbole im Hexadezimalsystem sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Beispiel Umrechnung von 1516 ins Dezimalsystem:

Jede Stelle der Zahl hat den Wert der entsprechenden Potenz von 16; die rechte Ziffer entspricht 16º=1, die zweite von rechts 16¹=16 usw. Nimm jede Ziffer bzw. ihren Zahlenwert (A=10, B=11, … ) mal mit der entsprechenden Potenz und summiere. Gehe am besten von rechts nach links vor:

5/5*1 = 5
1/1*16 = 16
ergibt addiert: 21

1516 Hexadezimal entspricht 21 im Dezimalsystem (1*16^1+5*16^0)=2110

Beispiel-Aufgaben:
Rechnen Sie folgende Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen um:

a.) 0xFFFF (15*16^0+15*16^1+15*16^2+15*16^3) = 65535
F: 15*1 = 15
F: 15*16 = 240
F: 15*256 = 3840
F: 15*4096 = 61440
——————-
65.535

b.) A12D (13*16^0)+(2*16^1)+(1*16^2)+(10*16^3) = 41261
D: 13*1 = 13
2: 2*16 = 32
1: 1*256 = 256
A: 10*4096 = 40960
——————-
41.261

c.) 0xFF (15*16^0+15*16^1) = 255
F: 15*1 = 15
F: 15*16 = 240
——————-
255

d.) 271 (1*16^0+7*16^1+2*16^2) = 625
1: 1*1 = 1
7: 7*16 = 112
2: 2*256 = 512
——————-
625

Quelle: Hexadezimalsystem auf Wikipedia

FIAE – Dualsystem (Zweiersystem, Binärsystem) / Zahlensysteme

Das Dualsystem (dyadische/2-adische Darstellung von Zahlen) wird auch Zweier-, oder Binärsystem genannt. Basis ist die Zwei – jegliche Zahlen lassen sich mit einer Zweierpotenz darstellen. Mögliche Zahlen sind 0 und 1. Im Dualsystem werden die Zahlen ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden Zweierpotenz. Leserichtung ist von Rechts nach Links.

Beispiel:
1100111002 als Binärzahl notiert ergibt folgende Rechnung für einen Gegenwert als Dezimalzahl:

Jede Stelle der Zahl hat den Wert der entsprechenden 2er-Potenz. Die der ersten Ziffer von rechts entsprechende Potenz ist 2^0=1. Nimm jede Ziffer mal mit der entsprechenden Potenz und summiere. Gehe am besten von rechts nach links vor:

0*1 = 0
0*2 = 0
1*4 = 4
1*8 = 8
1*16 = 16
0*32 = 0
0*64 = 0
1*128 = 128
1*256 = 256
– – – – – –
412

Beispiel-Aufgaben:
Rechnen Sie folgende Dualzahlen in Dezimalzahlen um:

a.) 00001010 (0*2^0+1+2^1+0+2^3) = 10
Dezimal: 10
0*1 = 0
1*2 = 2
0*4 = 0
1*8 = 8
0*16 = 0
0*32 = 0
0*64 = 0
0*128 = 0
—————–
(8+2)=10

b.) 01111000 (0+2^0+0+2^1+0+2^2+1+2^3+1+2^4+2+2^5+1+2^6) = 120
Dezimal: 120
0*1 = 0
0*2 = 0
0*4 = 0
1*8 = 8
1*16 = 16
1*32 = 32
1*64 = 64
0*128 = 0
-—————-
(8+16+32+64)=120

c.) 00010111 ((2^0*1)+(2^1*1)+(2^2*1)+(2^3*0)+(2^4*1)) = 23
Dezimal: 23
1*1 = 1
1*2 = 2
1*4 = 4
0*8 = 0
1*16 = 16
0*32 = 0
0*64 = 0
0*128 = 0
———-——
(1+2+4+16)=23

d.) 11011000 ((2^0*0)+(2^1*0)+(2^2*0)+(2^3*1)+(2^4*1)+(2^5*0)+(2^6*1)+(2^7*1)) = 216
Dezimal: 216
2^0*0 =0
2^1*0= 0
2^2*0 = 0
2^3*1 = 8
2^4*1 = 16
2^5*0 = 0
2^6*1= 64
2^7*1 = 128
——————–
(128+64+16+8)= 216

Quellen: Dualsystem auf Wikipedia